(от греческого mathema — значение, наука). В эпоху античности уровень развития Математики был очень высок. Греки использовали накопленные в Вавилонии и Египте арифметические и геометрические знания, но достоверных данных, позволяющих точно определить их воздействие, а также влияние традиции крито- микенской культуры, нет. История Математики в Древней Греции, включая эпоху эллинизма, делится на 4 периода.
1. Ионийский период (около 600—450 до нашей эры). В результате самостоятельного развития, а также на основе определённого запаса математических знаний, заимствованных у вавилонян и египтян, Математика превратилась в особую научную дисциплину, основанную на дедуктивном методе. Об этом свидетельствовали сочинения некоторых последователей ионийской натурфилософии и пифагорейцев. Согласно античному преданию, именно Фалес положил начало этому процессу. Однако истинная заслуга в создании Математики как науки принадлежит, видимо, Анаксагору и Гиппократу Хиосскому. Демокрит, наблюдая за игрой на музыкальных инструментах, установил, что высота тона звучащей струны изменяется в зависимости от её длины. Исходя из этого, он определил, что интервалы музыкальной гаммы могут быть выражены отношениями простейших целых чисел. Основываясь на идее об атомистической структуре пространства (предполагалось, что линии, поверхности и объёмы состоят из мельчайших элементов), он вывел формулы для определения объёма конуса и пирамиды. Наиболее крупным математиком среди пифагорейцев следует, по-видимому, считать Архита. Для математической мысли этого периода было характерно наряду с накоплением элементарных сведений по геометрии наличие зачатков теории двойственности, элементов стереометрии, формирование общей теории делимости и учения о величинах и измерении.
2. Афинский период (около 450—300 до нашей эры). Развиваются специфические греческие математические дисциплины, наиболее значительной из которых была геометрическая алгебра. Целью геометризации Математики, в сущности, был поиск решения чисто алгебраических задач (линейные и квадратные уравнения) с помощью наглядных геометрических образов. Он был обусловлен стремлением найти выход из затруднительного положения, в котором оказалась Математика вследствие открытия иррациональных величин. Применение новых способов решения задачи о квадратуре круга («теорема о луночках») Гиппократа и в первую очередь доказательство несоизмеримости (соизмеримости) диагонали квадрата с его стороной, по-видимому открытое пифагорейцем Гиппасом Метапонтским (около 400 до нашей эры), опровергли утверждение, что соотношения любых математических величин могут быть выражены через отношения целых чисел, то есть через рациональные величины (Arithmetica universalis). Под влиянием сочинений Платона и его учеников Феодор Киренский и Теэтет занимались разработкой проблемы несоизмеримости отрезков, в то время как Евдокс Книдский сформулировал общую теорию отношений, которую можно было применять также и для иррациональных величин. Тем самым он внёс вклад в преодоление кризиса греческой Математики. Однако свободному развитию математической мысли в этот период, дальнейшему становлению её методологии и накоплению конкретного материала препятствовал провозглашаемый Платоном и его последователями примат умозрительного, в том числе математического, знания над эмпирическим.
3. Эллинистический период (около 300—150 до нашей эры). В эпоху эллинизма античная Математика достигла высшей стадии развития. В течение многих столетий основным центром математических исследований оставался александрийский Мусейон. В этот период появляется труд, в котором систематизируются и обобщаются достижения предшествующих поколений математиков. Около 325 до нашей эры Евклид написал сочинение «Начала» (13 книг); будучи последователем Платона, он практически не рассматривал прикладные аспекты Математики. Им уделял особое внимание Герон Александрийский. Только создание учёными Западной Европы в 17 веке новой Математики переменных величин оказалось по значению выше того вклада, который Архимед внёс в разработку математических проблем. Он не только, по сути дела, приблизился к анализу бесконечно малых величин, но и выступил в поддержку материалистических взглядов Демокрита. Аполлоний Пергский, основываясь на трактатах Менахма (около 350 до нашей эры), Евклида и других, создал законченную теорию конических сечений. В области математических исследований в этот период основное внимание уделялось также изучению алгебраических кривых, которыми занимались Диокл (около 180 до нашей эры), Никомед (около 180 до нашей эры), Персей (около 150 до нашей эры), и разработке математических методов в теоретической астрономии (теория эпициклов, вычисление хорд), что нашло отражение в трудах Аполлония Пергского, Менелая Александрийского и Клавдия Птолемея. Наряду с широким использованием Математики в прикладных целях (Архимед) и применением её для разрешения проблем в области физики и механики вновь обнаружилась тенденция, в частности со стороны неопифагорейцев, приписывать числам особые, сверхъестественные качества (Ямвлих).
4. Завершающий период (около 150—60 до нашей эры). К самостоятельным достижениям римской Математики можно отнести лишь создание системы грубо приближённых вычислений и написание нескольких трактатов по геодезии, в основу которых легли работы Герона Александрийского. Наиболее значительный вклад в развитие античной Математики на её заключительном этапе внёс Диофант. Использовав, видимо, данные египетских и вавилонских математиков, он продолжил разработку методов алгебраических исчислений. Деятельность неопифагорейцев и неоплатоников, а также математиков, работавших в александрийском Мусейоне, была обусловлена стремлением сохранить знания, накопленные выдающимися представителями греческой математической мысли. Наряду с усилением религиозно-мистического интереса к числам продолжалась также разработка подлинной теории чисел. Этим занимался, в частности, Никомах Герасский (около 100 до нашей эры). Были также составлены превосходные комментарии ко многим математическим сочинениям и написаны работы, в которых систематизировались итоги исследований в области Математики (Папп Александрийский и неоплатоник Прокл). В целом в условиях острого кризиса рабовладельческого способа производства и перехода к феодальной общественно-экономической формации в Математике наблюдался регресс. Зверское убийство автора ряда трудов по Математике Ипатии в 415 символизировало конец александрийской математической школы. В 529 по приказу византийсокго императора Юстиниана, ярого поборника христианской веры, афинская Академия как центр распространения «языческих и губительных учений» была закрыта. Теперь только Византия вплоть до 9 века оставалась хранительницей традиций античной Математики. Благодаря сохранившимся византийским копиям сочинений греческих математиков и их позднейшим арабским переводам до нас дошла значительная часть математических знаний, накопленных в период распада Римской империи. Бурное развитие науки в Западной Европе в эпоху Возрождения привело к тому, что западноевропейские учёные постепенно ознакомились с сочинениями греческих математиков (большей частью сохранились в арабских и еврейских переводах). В 15—16 веках гуманисты проводили текстологические исследования сохранившихся работ с целью восстановления первоначальных текстов. В 16—17 веках труды крупнейших греческих математиков (Евклид, Папп, Птолемей, Аполлоний, Диофант) вышли на латинском и греческом языке. Они оказали огромное влияние на становление высшей Математики нового времени.
